实验五 FIR 数字滤波器的设计相关文档：docx
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实验五 FIR数字滤波器设计实验目标包括：首先，掌握利用窗函数法、频率采样法以及优化设计法来设计FIR滤波器的原理和方法，并熟悉相应的编程操作；其次，熟悉线性相位FIR滤波器的幅频响应和相频响应特性；最后，了解不同窗函数对滤波器性能的具体影响。实验原理中，线性相位实系数FIR滤波器可根据其N值的奇偶性和h(n)的对称性划分为四类：首先实验五 FIR 数字滤波器的设计相关文档：docx，当h(n)呈现偶对称性且N为奇数时，H(ejω)的幅值在ω=0、π、2π处均表现出偶对称性；其次，若h(n)为偶对称且N为偶数，则H(ejω)的幅值在ω=π处呈现奇对称性，此类滤波器不适宜用作高通滤波器。h(n)具有奇对称性，且N是一个奇数；H(e^jω)的幅度在ω=0、π等位置上呈现出特定的规律。
2、2π呈现奇数对称性，因此不适合用作高通或低通滤波器。4、当h(n)具有奇数对称性且N为偶数时；在H(ejω)中，当ω等于0或2π时，其值也为0，这样的特性同样不适宜用于低通滤波。(二) 窗口法与窗函数法设计线性相位FIR滤波器的流程包括：首先，明确数字滤波器的性能指标，如临界频率ωk和滤波器的单位脉冲响应长度N；其次，依据这些性能指标，恰当地选取单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性，进而确定理想频率响应Hd(ejω)的幅度特性和相位特性；接着，计算理想单位脉冲响应hd(n)，在具体计算过程中，可以对Hd(ejω)进行M点（M远大于N）等间隔采样，然后通过逆离散傅里叶变换（IDFT）得到hM(n)，以hM(n)替代hd(n)；最后，选取合适的窗函数w(n)，并利用h(n)=hd(n)w(n)的公式进行滤波器设计。
设计所需的FIR滤波器的单位脉冲响应；计算H(ejω)，分析其频谱幅度特性，若结果不符合预期，可以调整窗函数的类型或长度N，然后重复设计步骤，直至获得满意的效果。窗函数的傅里叶变换W(ejω)的主瓣宽度决定了H(ejω)的过渡带宽度。W(ejω)的旁瓣宽度及其数量，共同影响着H(ejω)在通频带和阻带区间的波动情况。在众多窗函数中，以下几种较为常用：（1）矩形窗（）；（2）汉宁窗，亦称作升余弦窗。
汉明窗，亦称改进型升余弦窗或布莱克曼窗，亦即二阶升余弦窗，以及凯塞窗等，其中β参数为可选，用于调节主瓣宽度与旁瓣衰减之间的平衡，通常情况下，β值增加，过渡带会变宽，阻带衰减则会减小。I0(·)代表第一类修正的零阶贝塞尔函数。若表示阻带最小衰减的参数为β，其值的确定可以运用以下经验公式进行计算：（三）采用频率采样法，这种方法以频域为起点，对给
在确定理想频率响应Hd(ejω)后，对其进行等间隔采样，得到采样值Hd(k)。这些采样值Hd(k)将作为实际FIR数字滤波器的频率特性H(k)的样本。通过逆离散傅里叶变换(IDFT)，我们可以得到有限长序列h(n)。接着c语言数字滤波器设计，通过离散时间傅里叶变换(DTFT)或Z变换，便可以得到H(ejω)。FIR滤波器的优化设计遵循最大误差最小化原则，旨在使设计的频响与理想频响之间的最大误差在通带和阻带范围内均达到最小，并且这种逼近是均匀的。为了便于操作，在改进设计过程中，通常将线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应的对称轴定位在n=0的位置，这时，线性相位系数α等于0。设定N为2M加1，若要尽可能地接近一个低通滤波器，那么M值和另一个固定值就需要被确定。
在此情形下，需定义一个逼近误差函数E(ω)，该函数代表在期望的滤波器通带和阻带内计算出的误差数值。同时，W(ω)表示加权函数，而K的值应等于δ1与δ2的比值，其中δ1是通带内的波动幅度，δ2则是阻带内的波动幅度。在设计中，需确保|E(ω)|在指定区间内的最大值尽可能小，这实际上等同于寻求最小的δ2值。依据数学中多项式对连续函数进行逼近的理论，通过三角多项式对连续函数进行逼近，在特定条件下，总能找到一个最佳的逼近三角多项式。此外，这一结论已被证实，该多项式是独一无二的。这一关于最佳逼近的定理，通常被称为交替定理。在接近目标的过程中，我们可以将K、M以及和保持不变，同时调整δ2的值。依据交替定理，我们需先估算出由(M+2)个误差函数构成的极值频率，分别对应i=0,1,...,M+1，这样总共就能得出(M+2)个方程。
ρ在此表达峰值误差的含义。通常情况下，我们只需求解出ρ，然后通过三角多项式确定新的极值频率点，进而计算出新的峰值误差ρ。如此循环往复，直至前后两次计算得到的ρ值不再发生改变。此时，最小的ρ值即为所求的δ2。这种算法被普遍称为雷米兹(Remez)交替算法。实验的具体内容和操作步骤如下：首先，选取样本数量N为45；其次，对矩形窗、汉明窗、布莱克曼窗进行归一化处理；接着c语言数字滤波器设计，分别计算这三种窗函数的幅度谱；最后，绘制出它们的幅度谱图，并对它们的主要特性进行对比分析。核心代码部分包括以下操作：（依次展开）定义变量w1为N，绘制n与w1、n与w2的图像，并使用虚线表示n与w3的关系；接着，计算w1与N的频率响应；最后，绘制w除以π与20倍以10为底h1的绝对值对数之间的关系图。
矩形窗函数的主瓣宽度最为狭窄，然而其旁瓣峰值却最为显著；汉明窗函数的主瓣相对较宽实验五 FIR 数字滤波器的设计相关文档：docx，但旁瓣的幅度较小；布莱克曼窗函数的主瓣宽度进一步增加，旁瓣的幅度也随之增大。矩形窗所采用的滤波器在过渡带上的宽度最短，然而其阻带的最小衰减效果却是最差的；相比之下，布莱克曼窗设计的滤波器在阻带衰减方面表现最佳，但其过渡带的宽度却达到了矩形窗的三倍之多。而汉明窗设计的滤波器则介于矩形窗和布莱克曼窗之间。在N值为15的情况下，带通滤波器的两个通带边界分别是……利用汉宁窗对这一线性相位带通滤波器进行设计，我们可以观察其实际的3dB和20dB带宽。N=45，重复这一设计
9、，观察幅频和相位特性的变化，注意长度N变化的影响。运行结果显示，所设计的滤波器的h(n)特性如下：相应的幅频和相频特性曲线得以呈现。经过分析，我们观察到其实际的3dB和20dB带宽。当N=15时，3dB带宽大约为0.2π，20dB带宽约为0.45π；而当N=45时，3dB带宽大约为0.16π，20dB带宽约为0.3π。由此可见，随着N值的增加，3dB和20dB带宽均有所减小，滤波器的性能得到提升，过渡带变得更加陡峭。幅频曲线表明，其通带较为平缓，波动较小，阻带衰减显著。相频特性曲线显示其相位
频率的变动导致其值相应增加。采用矩形窗和另一种窗函数，对设计（2）中的带通滤波器进行重新设计，同时观察并记录窗函数对滤波器幅频特性的具体影响，进而对比分析三种窗函数的各自特性。当N等于45时，三种不同窗函数设计的滤波器的h(n)系数如下所示；相应的幅频特性曲线也呈现如下：观察这三幅图表可以明显看出，在相同的N值条件下，采用矩形窗、汉宁窗、汉明窗以及布莱克曼窗进行滤波器设计时，主瓣的宽度会逐渐变宽，过渡带的宽度也随之增加，尽管如此，阻带的衰减效果却有所提升；随着N值的增加，主瓣的宽度会减小，旁瓣的成分则会增多，过渡带的边缘变得更加陡峭，同时起伏和震荡的现象也会变得更加密集。对滤波器的频率响应而言，加窗处理会带来几项主要效应：首先，原本理想特性的边缘变得不再连续，并扩展为一段过渡区域；其次，这一过渡区域的宽度是由窗函数频谱中的主瓣宽度所决定的。
在过渡带两侧，会形成肩峰和余振现象，这些现象与窗函数频谱的旁瓣密切相关；旁瓣的数量越多，余振现象就越明显；旁瓣的相对值越大，肩峰的强度也就越强。若要增加截断长度，虽然可以减小窗函数频谱的主瓣宽度，但无法改变旁瓣的相对值；旁瓣与主瓣的相对关系仅由窗函数的形状所决定。因此，在增加N值时，只能相应地减小过渡带的宽度，而无法影响肩峰的高度。肩峰值的高低直接影响到通带内的稳定性以及阻带的衰减程度，这对滤波器的整体性能至关重要。通过采用窗函数设计一种具有特定线性相位的滤波器，设定N为40，如图所示，我们分别对β取值为4、6、10的情况进行设计并比较它们的幅频响应和相频响应，特别关注β值变化对不同设计的影响。参数w由N和beta共同决定。
12、h=fir1(N-1,
0.2 0.4 0.6 0.8
运行w);=freqz(h,1)后，观察到的结果是：随着β值的增大，w(n)的窗口变得更加狭窄，这导致频谱的旁瓣减小，然而主瓣的宽度也随之增大，过渡带随之拓宽，相位特性得到改善。采用频率采样法对（4）中的滤波器进行设计，设置过渡带时确定一个过渡点，使得H(k)等于0.5。对比分析两种不同方法得出的结果。实验参数为N=40，Hk=。
将上述数值序列分解，可得到：零、零、零、零、零点五、一、一、一、零点五、零、零、零、零点五、一、一、一、零点五、零、零、零、零、零、零、负零点五、负一、负一、负一、负零点五、零、零、零、负零点五、负一、负一。
13、-1 -0.5 0 0 0 0
设定k从0到N减1，计算-k乘以2π除以N再乘以(N-1)除以2，hn等于Hk与exp(j*theta)的乘积的逆快速傅里叶变换的实部c语言数字滤波器设计，然后计算hn的频率响应，绘制w除以π的20倍对数幅度，绘制w除以π的相位，并绘制hn的茎图；运行结果显示：采用雷米兹交替算法对(4)中的滤波器进行设计，并对比了(4)、(5)、(6)三种不同方法的设计结果。fa=
0.175，0.2，0.4，0.425，0.575，0.6，0.8，0.825，直至1。
14、
;mag=
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
使用雷米兹(Remez)交替算法构建了一个线性相位的高通FIR数字滤波器，参数设定为：，，，，。经过频响分析，得到以下结果：，，，，。fa=;a=;dev=
0.01 0.109
;fs=5000;
N,fpts,mag,wt
(fa,a,dev,fs)分别代表滤波器的参数；b是通过remez函数计算得到的滤波器系数；接着使用freqz函数计算了滤波器的频率响应；最后，通过plot函数绘制了频率响应的图形。实验结果显示：在思考题1中，可以定性描述本实验程序设计的FIR滤波器的3dB截止频率所处的位置。这是否符合理想频率响应Hd(ejω)的截止频率？若未提供h(n)的长度N，而是提供了通带边缘截止频率ωc、阻带临界频率ωp及相应的衰减，能否依据这些条件利用窗函数法来设计一个线性相位的FIR低通滤波器？
